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Chapitre III

⚖️ Rentabilité & Seuil de rentabilité

Tu sais maintenant estimer le CA (Ch.I) et les coûts (Ch.II). Le Ch.III te donne LE point d'équilibre : combien faut-il vendre pour ne PAS perdre d'argent ? C'est le **Seuil de Rentabilité (SR)**. Au-dessus → bénéfice. En-dessous → perte. On va le calculer de 2 façons (en quantités Q* et en chiffre d'affaires CA*), puis l'appliquer à des entreprises qui vendent plusieurs produits (méthode Full Costs).

▶️ Apprendre ce chapitre pas à pas 3 leçons interactives — la fiche sert ensuite à réviser →
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🎯 Le but du chapitre

Trouver le seuil sous lequel l'entreprise perd de l'argent — puis, au-delà, calculer le bénéfice réel.

$$Au\ SR :\quad CA^{*} = CT \;\;\Longleftrightarrow\;\; Bénéfice = 0$$
🟢
Q > Q*
BÉNÉFICE
🔴
Q < Q*
PERTE
⚖️
Q = Q*
SEUIL (B=0)

🗺️ Les 4 grands chantiers

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👉 Avant de calculer, il faut COMPRENDRE ce qu'est ce point d'équilibre et ses 4 noms.
Au SR : Recettes = ChargesAu SR : CA* = CTAu SR : Bénéfice = 0
Définition — le SR, c'est le niveau d'activité MINIMUM
$$SR = \text{niveau d'activité pour couvrir les Coûts Totaux (CT)}$$
  • But — trouver le seuil sous lequel l'entreprise perd de l'argent
  • Niveau d'activité — CA habituel
  • Niveau MIN — CA* (le seuil minimum à atteindre)
  • Objectif — objectif de gestion MINIMAL : vendre au moins ça
4 mots qui veulent dire EXACTEMENT la même chose
$$SR = Point\ Neutre = Point\ Mort = Seuil\ Critique$$
  • SR — Seuil de Rentabilité (le plus courant en cours)
  • Point Neutre — synonyme très utilisé dans les exos
  • Point Mort — synonyme aussi
  • Seuil Critique — synonyme aussi, ne pas paniquer
🔑 Le réflexe à AVOIR
  • Quand tu vois SR / Point Neutre / Point Mort / Seuil Critique → c'est PAREIL
  • Quand tu vois CA* ou Q* → l'étoile (*) veut dire 'au seuil'
  • Au seuil : B = 0 (ni bénéfice, ni perte)
$$CA^{*} = CT \;\Leftrightarrow\; B = 0$$
⚡ Mini-quiz
Une entreprise atteint son 'point mort'. Qu'est-ce que ça signifie ?
Point mort = Point neutre = Seuil de rentabilité. C'est le niveau d'activité où CA = CT donc B = 0. Ni perte, ni bénéfice.
👉 Quand les frais variables sont exprimés EN €/PIÈCE VENDUE (PA, emballage, commission/unité…)
Si frais variables en %, il faut d'abord les TRANSFORMER en €/pièce (× p)(p − v) doit toujours être > 0 sinon tu vends à perte sur chaque unitéArrondir TOUJOURS à l'unité SUPÉRIEURE (jamais inférieure)
Étape 1 — Poser CA* = CT puis isoler Q*
$$p \cdot Q^{*} = v \cdot Q^{*} + FF \;\Rightarrow\; Q^{*}(p-v) = FF \;\Rightarrow\; \boxed{Q^{*} = \frac{FF}{p-v}}$$
  • p — prix de vente unitaire HTVA
  • v — coût variable unitaire (PA + emballage + commission/unité + …)
  • FF — Frais Fixes TOTAUX sur la période
  • (p − v) — contribution UNITAIRE — TOUJOURS positive (sinon vente à perte !)
  • Q*(p − v) — contribution TOTALE — sert à couvrir les FF
Étape 2 — Calculer puis ARRONDIR à l'unité SUPÉRIEURE
$$Q^{*} = \lceil \tfrac{FF}{p-v} \rceil \quad (\text{arrondi sup})$$
  • Pourquoi sup ? — si tu arrondis au-dessous tu rates le seuil → perte. Au-dessus → tu es ok.
  • Notation ⌈x⌉ — plafond, l'entier IMMÉDIATEMENT SUPÉRIEUR ou ÉGAL à x
  • Ex 1 — 190 687,3 → Q* = 190 688
  • Ex 2 — 11 556,4 → Q* = 11 557
Piège classique : ne pas oublier de TOUS additionner les FV par unité (PA, emballage, commission, pub si en € par unité). Si la pub est en % du CA, soit on la transforme en € par unité (× p), soit on bascule sur la formule CA*.
📝 Exemple : p = 1,25 € ; v = 0,99 € ; FF = 49 578,71 €
  • Q* = 49 578,71 / (1,25 − 0,99)
  • Q* = 49 578,71 / 0,26
  • Q* = 190 687,3… → Q* = 190 688 unités
  • Vérif : CA* = 1,25 × 190 688 = 238 360 €
  • CT = 0,99 × 190 688 + 49 578,71 = 238 360 € ✓
$$Q^{*} = \frac{49\,578{,}71}{1{,}25 - 0{,}99} = 190\,688\ unités$$
⚡ Mini-quiz
Une entreprise a FF = 100 000 €, p = 50 €, v = 30 €. Quel est son Q* ?
Q* = FF / (p − v) = 100 000 / (50 − 30) = 100 000 / 20 = 5 000 unités. La contribution unitaire (p−v) est de 20 € — chaque unité vendue rapporte 20 € qui servent à couvrir les 100 000 € de FF.
👉 Le SR te dit où est le seuil. La rentabilité te dit COMBIEN tu gagnes (ou perds) à un niveau d'activité DONNÉ.
Distinction CAPITALE : SR = niveau pour ne RIEN gagner | Rentabilité = montant du gain (ou de la perte)On peut comparer Q vs Q* OU CA vs CA* — les 2 disent la même chose
Formule générale
$$B = CA - CT = p \cdot Q - (v \cdot Q + FF) = (p-v) \cdot Q - FF$$
  • B — bénéfice (si > 0) ou perte (si < 0)
  • CA — Chiffre d'Affaires = p × Q
  • CT — Coûts Totaux = CVT + FF = v × Q + FF
  • (p − v) × Q — contribution totale
La règle de SIGNE — comparer Q à Q*
$$Q < Q^{*} \Rightarrow B < 0\ (\text{perte}) \quad ; \quad Q > Q^{*} \Rightarrow B > 0\ (\text{bénéfice})$$
  • Q = Q* — B = 0, c'est le seuil pile
  • Q < Q* — on ne couvre pas les FF → PERTE
  • Q > Q* — les FF sont couverts + on dégage du bénéfice
📝 Exemple suite (p = 1,25 ; v = 0,99 ; FF = 49 578,71) — Q* = 190 688
  • Si Q = 150 000 (< Q*) :
  • B = 1,25 × 150 000 − (0,99 × 150 000 + 49 578,71)
  • B = 187 500 − 198 078,71 = −10 578,71 € (PERTE) ❌
  • Si Q = 300 000 (> Q*) :
  • B = 1,25 × 300 000 − (0,99 × 300 000 + 49 578,71)
  • B = 375 000 − 346 578,71 = +28 421,29 € (BÉNÉFICE) ✅
$$B = (p-v) \cdot Q - FF$$
⚡ Mini-quiz
Entreprise CROSS : Q* = 11 557 ; en 2023 elle a vendu 15 000 unités. Que peut-on dire SANS calculer le bénéfice ?
Q (15 000) > Q* (11 557) → l'entreprise est au-dessus du seuil → elle est RENTABLE. Pas besoin de tout recalculer pour le savoir, mais il faut calculer B = CA − CT pour connaître le MONTANT exact (= 29 523,39 €).
👉 Quand les frais variables sont en % DU CA (pub 5%, commission 4%, etc.) OU quand on veut une réponse directe en €.
Quand m est la marge sur PA : achats = 1/(1+m) du CASi m = 0,6 → achats = 1/1,6 = 0,625 (62,5% du CA)Vérif : CA* = p × Q* (les deux formules doivent donner le même CA*)
Étape 1 — Calculer f (taux de frais variables / CA)
$$f = \frac{FV}{CA} = \frac{v}{p} \;;\quad \text{cas Achats} : f_{\text{achats}} = \frac{1}{1+m}$$
  • f — part des frais variables dans le CA (entre 0 et 1)
  • Pub 5% — contribue 0,05 à f
  • Commission 4% — contribue 0,04 à f
  • Achats (marge m) — contribue 1/(1+m) à f car PA = p/(1+m)
  • f totale — somme de tous les % variables (achats + pub + commission + …)
Étape 2 — Appliquer la formule du SR en CA
$$CA^{*} = f \cdot CA^{*} + FF \;\Rightarrow\; CA^{*}(1-f) = FF \;\Rightarrow\; \boxed{CA^{*} = \frac{FF}{1-f}}$$
  • (1 − f) — taux de CONTRIBUTION (part du CA qui couvre FF puis dégage du bénéfice)
  • Ex : f = 0,7 — (1 − f) = 0,3 → 30% du CA contribue. CA* = FF / 0,3
  • Multiproduction — si tous les FV sont proportionnels au CA, on traite comme une mono-production
Le poste 'Achats' est SOUVENT oublié dans f. Ne pas oublier f_achats = 1/(1+m) avant d'additionner les autres % (pub, commission…).
📝 Exemple : m = 0,6 ; pub = 3% CA ; commission = 5% CA ; FF = 100 000 €
  • Achats : f₁ = 1 / (1 + 0,6) = 0,625 (= 62,5% du CA)
  • Pub : f₂ = 0,03
  • Commission : f₃ = 0,05
  • → f total = 0,625 + 0,03 + 0,05 = 0,705
  • → (1 − f) = 0,295 (taux de contribution)
  • → CA* = 100 000 / 0,295 = 338 983,05 €
$$CA^{*} = \frac{100\,000}{1 - 0{,}705} = \frac{100\,000}{0{,}295} \approx 338\,983\ €$$
⚡ Mini-quiz
Société avec FF = 50 000 €, marge sur achats m = 1 (PV = 2× PA), commission = 5% CA. Quel f total ?
Avec m = 1, la part 'achats' dans le CA est 1/(1+m) = 1/2 = 0,5 (= 50% du CA). On ajoute la commission de 5% → f = 0,50 + 0,05 = 0,55. Le taux de contribution est (1 − f) = 0,45.
👉 À l'exam, on peut te demander de tracer le SR. Il y a 3 façons équivalentes — il faut connaître les 3 droites.
Quel que soit l'angle, le SR est TOUJOURS au même Q* (les 3 graphes te disent la même vérité)L'approche 'Bénéfice' est souvent la plus lisible : on voit où on passe en territoire positif
Les 3 approches reposent toutes sur la même définition (CA = CT au SR)
$$\text{Classique : } CA = CT \quad|\quad \text{Bénéfice : } B = 0 \quad|\quad \text{Contribution : } FF = Q^{*}(p-v)$$
  • Classique — droite CA y=p·x ET droite CT y=v·x + FF — intersection = SR
  • Bénéfice — droite B y=(p−v)·x − FF — point où elle CROISE l'axe X = SR
  • Contribution — droite horizontale FF (y = FF) ET droite Contrib y=(p−v)·x — intersection = SR
Les équations à connaître par cœur (exemple : p=1,25 ; v=0,99 ; FF=49 578,71)
$$CA : y = 1{,}25x \;;\; CT : y = 0{,}99x + 49\,578{,}71 \;;\; B : y = 0{,}26x - 49\,578{,}71$$
  • CA — y = p·x — passe par l'origine, pente = p
  • CT — y = v·x + FF — pente v, ordonnée à l'origine FF
  • B — y = (p−v)·x − FF — coupe l'axe X au seuil
  • Contribution totale — y = (p−v)·x — passe par l'origine, pente (p−v)
  • FF — droite horizontale y = FF (constante)
🎯 Méthode pour tracer rapidement
  • 1. Calcule Q* avec la formule (ton repère vertical)
  • 2. Calcule CA* = p × Q* (ton repère horizontal en €)
  • 3. Trace les 2 droites de l'approche demandée
  • 4. Marque clairement leur intersection au point Q*
  • 5. Légende l'axe X (Q en unités) et l'axe Y (€)
$$Q^{*}\ \text{est le même dans les 3 approches}$$
⚡ Mini-quiz
Sur l'approche 'classique' (CA et CT), comment voit-on le SR ?
Approche CLASSIQUE : on trace CA = p·x (passe par 0) et CT = v·x + FF (ordonnée à l'origine = FF). Le SR est précisément à leur INTERSECTION, là où CA = CT donc B = 0.
👉 Quand l'entreprise vend PLUSIEURS produits différents (prix et coûts différents). On calcule la rentabilité de CHAQUE produit séparément.
Tableau type : lignes Q, p, v, CA, FV, Contribution, FFD, Apport, FFI, Résultat — colonnes par produit + TOTALL'apport > 0 est le critère D'ABANDON (PAS le résultat !)Si abandon : les FFI restants alourdissent les produits maintenus → peut tuer un autre produit en cascade
Nouvelles notions : FFD vs FFI + clé de répartition
$$FF = FFD + FFI \;;\quad FFD \to \text{produit précis} \;;\quad FFI \to \text{communs, répartis via clé}$$
  • FFD (Fixes Directs) — imputables à UN produit précis (vendeur dédié, amortissement véhicule de ce vendeur)
  • FFI (Fixes Indirects) — communs à tous les produits (loyer, assurances, admin, salaire patron)
  • Clé de répartition — critère (% du CA, % des Q, % du temps…) pour répartir les FFI entre produits
  • Si abandon — les FFD du produit disparaissent. Les FFI restent et sont redistribués sur les autres.
La CASCADE en 3 étapes (à mettre dans un tableau)
$$CA \to FV \to \underbrace{Contribution}_{CA-FV} \to FFD \to \underbrace{Apport}_{Contrib-FFD} \to FFI \to \underbrace{Résultat}_{Apport-FFI}$$
  • 1. Contribution Totale — = CA − FV — ce qui reste du CA une fois les frais VARIABLES couverts
  • 2. Apport — = Contribution − FFD — sert à couvrir les FFI
  • 3. Résultat — = Apport − FFI — la VRAIE rentabilité du produit
  • Apport > 0 ? — ✅ le produit contribue à payer les frais communs → GARDER
  • Apport < 0 ? — ❌ ne couvre même pas ses propres FFD → ABANDONNER
Erreur fatale : abandonner un produit parce que son RÉSULTAT est négatif. Le critère c'est l'APPORT. Un résultat négatif peut être ok si l'apport reste > 0.
📝 Exemple TEXTIFUN — Pull (B) a Apport = −3 200 €
  • CA = 90 000 ; FV = 84 000 → Contribution = 6 000 €
  • FFD (vendeur dédié, etc.) = 9 200 €
  • → Apport = 6 000 − 9 200 = −3 200 € ❌
  • Le Pull ne couvre même pas ses propres FFD → on l'abandonne
  • Les FFI (13 000 € qui étaient sur Pull) sont redistribués sur Robes/Gilets/Jupes
$$Apport_{Pull} = 6\,000 - 9\,200 = -3\,200\ € < 0\ \Rightarrow\ \text{ABANDON}$$
⚡ Mini-quiz
Un produit a Contribution Totale = 50 000 €, FFD = 30 000 €, FFI alloués = 25 000 €. Apport et décision ?
Apport = Contribution Totale − FFD = 50 000 − 30 000 = +20 000 €. Le produit couvre ses propres FFD et apporte 20 000 € pour aider à payer les FFI communs → ON LE GARDE. Le résultat (Apport − FFI = −5 000 €) est négatif, mais ce n'est PAS le critère d'abandon : le critère, c'est l'apport.
👉 Une fois la cascade Full Costs faite, on peut calculer le seuil de rentabilité ET le prix de revient de chaque produit.
Le PRU est utile pour la POLITIQUE DE PRIX (vs le SR qui sert à la décision activité/abandon)Limites Full Costs : répartition arbitraire des FFI ; le PRU dépend de Q qu'on ne connaît pas avantDécisions LONG TERME → PRU est bon. Décisions COMMERCIALES court-terme → préférer la contribution
Le Q* par produit — on remplace FF par (FFD + FFI alloués)
$$q^{*}_{P} = \frac{FFD_{P} + FFI_{P}}{p_{P} - v_{P}}$$
  • FFD_P — Frais Fixes DIRECTS du produit P
  • FFI_P — Frais Fixes INDIRECTS alloués au produit P via la clé
  • (p − v)_P — contribution unitaire du produit P (toujours > 0)
  • q vs q* — si q > q* : produit rentable | si q < q* : produit en perte
Le PRU (Prix de Revient Unitaire) par produit
$$PRU_{P} = \frac{CT_{P}}{Q_{P}} = \frac{FV_{P} + FFD_{P} + FFI_{P}}{Q_{P}}$$
  • PRU — le prix MINIMUM à pratiquer pour ne pas perdre d'argent unitairement
  • PRU < p — ✅ produit rentable (le PV couvre tous les coûts unitaires)
  • PRU > p — ❌ on vend en dessous du prix de revient — perte par unité
  • Décision — soit augmenter p, soit baisser les coûts, soit abandonner
📝 TEXTIFUN — calcul Q* par produit (clé : % du CA)
  • Robes A : q* = (38 000 + 20 713) / (70 − 35) = 58 713 / 35 = 1 678 unités
  • Pull B : q* = (9 200 + 8 877) / (15 − 14) = 18 077 / 1 = 18 077 unités
  • Gilets C : q* = (9 500 + 11 994) / (19 − 12) = 21 494 / 7 = 3 071 unités
  • Jupes D : q* = (21 300 + 10 416) / (22 − 15) = 31 716 / 7 = 4 531 unités
  • → Comparer ensuite chaque Q vendu à son q* respectif
$$q^{*}_{P} = \frac{FFD_{P} + FFI_{P}}{p_{P} - v_{P}}$$
⚡ Mini-quiz
Un produit a FV = 100 000 €, FFD = 40 000 €, FFI alloués = 20 000 €, Q = 5 000 unités, p = 35 €. PRU ?
PRU = (FV + FFD + FFI) / Q = (100 000 + 40 000 + 20 000) / 5 000 = 160 000 / 5 000 = 32 €. Comme PRU (32) < p (35), le produit dégage 3 € par unité → il est rentable.

⚠️ Les 6 pièges classiques

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🚫 Oublier d'arrondir Q* à l'unité SUPÉRIEURE
Si tu trouves 190 687,3 → c'est 190 688 (PAS 190 687). Arrondir au-dessous = être SOUS le seuil = perte.
💱 Mélanger FV en €/pièce ET FV en %
Si tu calcules Q* (en quantité) → tout doit être en €/pièce. Si tu calcules CA* (en €) → tout doit être en % du CA. Pas de mélange.
📦 Oublier le poste 'Achats' dans f (cas CA*)
Les achats = 1/(1+m) du CA. Si on l'oublie, f est trop petit → CA* trop bas → faux.
🎯 Confondre SR et Rentabilité
SR = niveau pour B = 0 (réponse en unités ou en €). Rentabilité = montant du bénéfice à un Q DONNÉ (réponse en €). Ce sont 2 questions différentes.
🔪 Abandonner un produit sur le RÉSULTAT (au lieu de l'APPORT)
Un résultat négatif ne veut PAS dire 'abandonner'. Le critère = Apport négatif. Si Apport > 0, le produit aide à payer les FFI communs.
🧮 Oublier de re-répartir les FFI après abandon
Si on supprime un produit, ses FFD disparaissent MAIS pas les FFI. Il faut recalculer la clé de répartition entre les produits qui restent.
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💡 À retenir

  • Q* = FF / (p − v) — le SR en quantité — arrondir à l'unité SUPÉRIEURE
  • CA* = FF / (1 − f) — le SR en CA — f = somme des % de tous les frais variables
  • Cas Achats : fachats = 1/(1+m) — toujours inclure ce poste dans f
  • B = CA − CT = (p−v)·Q − FF — la rentabilité (positif = bénéf, négatif = perte)
  • Multiproduction Full Costs : CA → FV → Contribution → FFD → Apport → FFI → Résultat
  • Critère d'abandon = Apport < 0 (PAS le résultat final)
  • PRU par produit = (FV + FFD + FFI) / Q — utile pour la politique de prix
Fiche révision · examen 1er juin 2026 · 13h30